Analyse complexe pour la Licence 3: Cours et exercices by Patrice Tauvel

By Patrice Tauvel

Cours et exercices corrigés sur los angeles théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur l. a. place privilégiée de l'analyse complexe, située entre l. a. géométrie différentielle, l. a. topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

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Soient x > ρ−1 et X > 0. Ce qui précède montre que : X ∞ an −xt n e t dt. n=0 n! e−xt g(t) dt = 0 Si l’on pose up , p=0 p! n Sn (u) = on voit facilement par récurrence que : X 0 e−xt tn dt = n! xn+1 [1 − e−xX Sn (Xx)]. La suite Sn (Xx) n est bornée. Comme x > ρ−1 implique la convergence de la série |an | |x|−n , on voit que la série de terme général |a n |x−n e−xX Sn (xX) converge. 3 • Séries entières 48 On a alors : X 0 |e−xX S n (xX) ∞ −n−1 |a |x N +1 n On a X 0 1 ∞ an x n=0 xn e−xt g(t) dt − ∞ |an | −xX e Sn (xX).

Ecrire f (x) − s 1−x sous-forme d’une série. En déduire que f (x) tend vers s quand x tend vers 1 par valeurs inférieures. 3. Soient an , bn des séries convergentes et cn est convergente, prouver que : ∞ an n=0 ∞ cn leur série produit. Si la série ∞ bn = n=0 cn . 1. 1. Si A est un majorant des |an |, on a |an xn | A|x|n . Il est donc clair que ρ > 1. © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. , on déduit que g a un rayon de conver2. | gence infini et que g est normalement convergente sur tout compact de R.

Soit z ∈ D(0, 1). Si n ∈ N, on a : z n+1 1 = 1 + z + · · · + zn + · 1−z 1−z On en déduit immédiatement que, si |z| < 1 : ∞ 1 = zn. 1 − z n=0 Soit a ∈ C∗ . 4, on voit que, si p ∈ N∗ et |z| < |a| : ∞ (n − p + 1)! (p − 1)! 2. Soit f une fraction rationnelle dont les pôles α 1 , . . , αk sont non nuls. Alors, f est développable en série entière à l’origine. Le rayon de convergence de ce développement est R = min{|α 1 |, . . |αk |}. Si S est la somme de ce développement, on a f (z) = S(z) pour |z| < R.

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