Analyse continue par ondelettes by Bruno Torrésani

By Bruno Torrésani

Torrésani B., Meyer Y. examine proceed par ondelettes (EDP Sciences, 1995)(ISBN 2868833772)

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L'idée est donc de partir d'une telle fonction et de faire agir dessus des rotations, en plus des translations et dilatation usuelles, afin de faire varier sa localisation dans l'espace de Fourier. 8) Tf(b,a,û) = (f,$(b,u$)) qui est maintenant une fonction de quatre variables réelles. 9) on a alors la décomposition suivante : Vf (z) E L 2 ( m 2 ) , La démonstration est laissée au lecteur. Passons maintenant au cas de dimension quelconque. Nous nous donnons maintenant la possibilité de faire agir sur l'ondelette mère $(z), en plus des dilatations et translations habituelles, des matrices de rotation en dimension n.

Enfin, le problème est évité dans le troisième cas par l’introduction de dilatations négatives ou, ce qui est équivalent, de dilatations positives composées d’une réflexion par rapport à l’origine des fréquences. L’analyse par ondelettes en dimension 1 21 Preuve : Passons maintenant à la preuve du théorème. 7) par un calcul formel, si l’on ne se soucie pas de la convergence des expressions employées. Le travail consiste donc à donner un sens à ce calcul formel. Si on note f(x) = f ( - x ) * , il vient : Tf(b’ ).

La formule de Morlet s’avère particulièrement efficace du point de vue numérique, car elle met en jeu une intégrale simple au lieu d’une intégrale double, ce qui réduit d’autant le volume des calculs. 2 Quelques exemples simples 1) Reprenons tout d’abord l’exemple discuté dans le paragraphe précédent, pour illustrer l’aspect “analyse de Fourier locale” des ondelettes. Soit donc f(z)= A(z)eiAX” la fonction considérée précédemment, et soit $(z) une ondelette à support est maximale pour une certaine compact dans un intervalle I , telle que valeur = W O .

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