Elektrische Ausgleichsvorgänge und Operatorenrechnung by John R. Carson (auth.)

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Tze und Formeln fiir die LOsung von Operatorengleichungen. p 1/i.. e 'Yn Man setze nunmehr gleichen Integrale: 2 - 1t' = t. Tfe-VIP(u-~r 2e- 2V J. -JOOe-V;:p(u-~r ( y! ) = I + I) US du p y, also YIP (I + ~s) du = dy ergibt sich 00 f) je-(Pt++) -00 =e-2~. s fo e-pte-UJ (i),t)dt= fpZ+2)'p' 00 1 0 00 fe-'PtJ,,(At)dt=! o (r-;,p)", wobei r2=p2+A2. Der Satz von Borel. 37 Man wertet diese Integrale aus, indem fur die Besselschen Funktionen ihre Definitionen mittels der Integraldarstellung J n (e) = 21n +n f eieCosP • t" 0-i) dfJ eingefiihrt werden.

Tor: I (t) = y' ~ [1 + AS dt] J(t) • (69) o Man erhalt also auf Grund der Integralformel (c) der Tafel und des Verschiebungssatzes 80113 Losung von (68) J(t) e- lt = --=, lnt woraus folgt J\rt t I(t) = 0 1/ -U VnR [eft +A -At ] (70) dt . t [1 Y + 1·3 2U + (2At)1 + ... J. 1·3·5 (72) Die Losung nach Heaviside ergibt sich unmittelbar aus der Entwicklung der Operatorengleichung: I = = Vi- (p + A) V~O (1 + ;) (73) = lflJP[1 + ~(~) __ 1 (~)2 + ~ (~)3_ ... ]. VB Ersetzt man fP 2 p 2·4 P 2·4·6 lIt" durch l'n t und -;; durch -" p n.

Bei einer unendlich langen Leitung erhalt man also fiir den Strom am Anfang die Operatorengleichung + Vpl~ 10 = R Uo , (99) wobei U0 die Klemmenspannung bezeichnet. 1st diese Spannung in Form eines EinheitsstoBes gegeben, so wird 1= Vpl~R' Hierfiir kann man auch schreiben 1 1=, 2: wobei Z = T' = V~ ZVl+ /T' (100) den Wellenwiderstand der Leitung bedeutet, und ist. Die entsprechende Integralgleichung lautet . Vr+ 1 Z ~ ~j'-"I(~dt. (101) 0 Mit Hilfe der Formel (p) der Integraltafel erkennt man sofort die LOsung (102) 55 Der allgemeine asymptotische Entwicklungssatz.

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