# Hohere Mathematik fur Ingenieure, Band I: Analysis 8. by Friedrich Wille

By Friedrich Wille

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Fig. 8 Zusammenfassung Die letzten vier Grundaufgaben lassen sich übersichtlich am Beispiel einer Urne mit Kugeln darstellen. Und zwar stellen wir uns eine Urne oder einen Topf vor, in dem n durchnumerierte Kugeln liegen. In Fig. 14 ist n = 10. : k = 4. Wir sprechen von einer Stichprobe von k Kugeln. und zwar von einer geordneten Stichprobe, wenn es uns auf die Reihenfolge der herausgenommenen Kugeln ankommt; von einer ungeordneten Stichprobe, wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt. 2 Elementare Kombinatorik 41 geordnete Stichproben = Variationen ungeordnete Stichproben = Kombinationen Wir stellen uns nun zwei Gedankenversuche vor.

Sie stellt einen Allgemeinfall dar, aus dem sich viele Sonderfälle herleiten lassen. B. 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1. Frage: Auf wieviele verschiedene Weisen lassen sich k Einsen und m Nullen anordnen? Antwort: n n! m! wobei n = k + m ist. 13: Ein Fußballverein hat 13 aktive Spieler. Auf wieviele verschiedene Weisen kann man die Spieler folgendermaßen einteilen: 3 Stürmer, 3 Mittelfeldspieler, 4 Verteidiger, 1 Torwart, 2 Ersatzbankwärmer? 14*: Jede senkrechte Spalte einer Lochkarte hat genau 12 Lochstellen.

2 Elementare Kombinatorik 35 Fig. 11: Urne mit Kugeln Sie bilden ein Tripel. Wieviele solcher Tripel aus drei verschiedenen Kugeln lassen sich bilden? Antwort: 10 · 9 · 8 = 720 . Die beschriebene dritte Grundfrage läßt sich kürzer so formulieren: Es sei eine Menge aus n Elementen a1 , . , an gegeben. Wieviele k-Tupel aus jeweils k verschiedenen Elementen lassen sich daraus bilden (k ≤ n)? k-Tupel dieser Art heißen Variationen zur k-ten Klasse ohne Wiederholungen. »Ohne Wiederholungen« deshalb, weil je zwei Elemente eines solchen n-Tupels verschieden sind, sich also kein Element darin »wiederholt«.