Komplexe Analysis für Ingenieure: Band 2 by Peter Henrici, Rita Jeltsch (auth.)

By Peter Henrici, Rita Jeltsch (auth.)

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Wegen (2) und (3) existiert der Grenzwert des auf der rechten Seite stehenden Ausdrucks und hat den Wert ";;;2. Damit existiert auch der Grenzwert des Integrals links, und es gilt oder also f (cos t 2 - i sin t 2 ) dt = oo o ~ (1- i). ;; . ) Es ist nicht moglich, diese Integrale auf elementare Weise durch Aufsuchen einer Stammfunktion zu bestimmen. 2. Integraie anaiytischer Funktionen 31 Wir kehren wieder zu der allgemeinen Theorie zuriick. , f sei analytisch in einem einfach zusammenhangenden Gebiet G.

4. Sei X>O, a >0 und f: z ~e-z2. Man drucke das Integral der Funktion f langs jeder der vier Seiten des Rechtecks mit den Eckpunkten X, X + ia, -X+ia,-X durch reelle Integrale aus (s. Fig. 2j). Durch den Grenzubergang X ~ 00 und unter Zuhilfenahme des Cauchyschen Integralsatzes bestimme man sodann den Wert des uneigentlichen Integrals L: e - t cos 2at dt. 3. Die Cauchysche Integralformel 39 y -X+ia ia -x o X+ia x x Fig. 2j 5. Es sei a:= Leoo t3 dt bekannt. Wie lassen sich die Werte der Integrale c: = Lcos oo t 3 dt, s: = Lsin t oo 3 dt durch a ausdrUcken?

Wir haben also die Beziehung 00 r)(a) f(z)= L -,-(z-at n=O n. (4a) oder, wenn wir die Reihe ausschreiben, f(z) f(a) f"(a) 1! 2! +· . (4b) Dies ist die uns von der reellen Analysis her wohlbekannte Entwicklung von f in die Taylor-Reihe im Punkt a. Beziehung (4) bedeutet, dass die Taylor-Reihe konvergiert und die Funktion f darstellt. Gemass Herleitung gilt (4) innerhalb des Kreises vom Radius r urn a, wobei r der Abstand von a zur Kurve r ist. Wie man sieht, hangt die 5. Komplexe Integration 62 Gestalt der Taylor-Reihe nur von fund a ab, nicht aber von Daher kann nun der wahre Konvergenzbereich der Taylor-Reihe auch nur von f und a abhangig sein.

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